一、偏序集 1.1偏序集定义 设𝑹是集合𝑺上的一个关系，如果𝑹是自反的、反对称的和可传递的，则称𝑹是集合𝑺的偏序关系，简称偏序，记作“≤”。
Ⅰ 自反性：对任意𝑥∈𝐴，有𝑥≤𝑥； Ⅱ 反对称性（即反对称关系）：对任意𝑥,𝑦𝜖𝐴，若𝑥≤𝑦，且𝑦≤𝑥，则𝑥=𝑦； Ⅲ 传递性：对任意𝑥,𝑦,𝑧∈𝐴，若𝑥≤𝑦 ，且𝑦≤𝑧 ，则𝑥≤𝑧。
若在集合𝑺上给定一个偏序关系≤，则称集合𝑺按偏序关系≤构成一个偏序集合，集合𝑺和偏序𝑹一起称为偏序集，记作(𝑺,≤)
1.2偏序集的例子
偏序集中的元素间的次序可以通过它的Hasse图反映出来。
例如𝑨 ={1,2,3,6,12,24,36}, ≤是𝑨上的整除关系，其Hasse图如图所示。
简单证明偏序集上下确界唯一。 证明：设𝑥和𝑦都是𝑆的不同上确界，则𝑥≠𝑦。由于上确界首先是上界，根据上确界定义：上确界𝒂，对任意上界𝒃都有𝒂≤𝒃 ≤”，”则有𝑥≤𝑦，𝑦≤𝑥，则𝑥=𝑦。 下确界证明同理，所以偏序集的上下确界唯一，证毕。
1.3偏序集小总结
二、格的定义和性质
2.1格的定义
若对于偏序集(𝐿,≤)”的”任意两个元素𝑎”和” 𝑏”，” sup{𝑎,𝑏} “和” inf{𝑎,𝑏} “都”存在，则称偏序集(𝐿,≤)是格。格(𝐿,≤)中的𝑎”和” 𝑏的上确界sup{𝑎,𝑏} “
记为” 𝑎∨𝑏 称为𝑎”和” 𝑏的并；𝑎”和” 𝑏的下确界inf{𝑎,𝑏} “记为” 𝑎∧𝑏”，称为” 𝑎”和” 𝑏的交。
举个例子：
下图的三个偏序集：
(𝐴,≤)不是格，因为{24,36}无上确界。
(𝐵,≤)”，” (𝐶,≤)是格。
这两个偏序集，也都不是格，第一个因为d和e无下界，也无最小上界；b,c虽有下界，但无下确界。第二个因为2,3无最大下界，4,5无上确界。
2.2格的对偶原理
格的对偶原理：设P是对任何格都为真的命题，如果将P中的≤换成≥，∧换成∨ ，∨换成∧ ，就得到命题Q, 称Q为P的对偶命题，并有如下结论：命题Q对任意格也为真。
例如：
P: 𝑎 ∨ 𝑏 ≥𝑎 Q: 𝑎∧𝑏 ≤ 𝑎
{𝑎,𝑏}的上确界≥ 𝑎 {𝑎,𝑏}的下确界≤𝑎
2.3格的性质 设(𝐿,≤)”是”一个格，则运算∨和∧满足交换律、结合律、吸收律、幂等律，即： （1）∀𝑎,𝑏∈𝐿，有𝑎∨𝑏 = 𝑏 ∨ 𝑎； 𝑎∧𝑏= 𝑏 ∧ 𝑎（交换律） （2）∀𝑎,𝑏,𝑐∈𝐿，有(𝑎∨𝑏) ∨𝑐” =” 𝑎∨ (𝑏 ∨𝑐); (𝑎∧𝑏) ∧𝑐 = 𝑎∧ (𝑏 ∧𝑐)(结合律） （3）∀𝑎,𝑏∈𝐿，有𝑎∨ (𝑎∧𝑏) = 𝑎； 𝑎∧ (𝑎∨𝑏) = 𝑎（吸收律） （4）∀𝑎∈𝐿，有𝑎∨ 𝑎 = 𝑎； 𝑎∧ 𝑎 = 𝑎（幂等律） 并且由∨和∧的性质可直接得到： 𝑎≤𝑎∨𝑏 ， 𝑏≤𝑎∨𝑏 “，” 𝑎∧𝑏≤𝑎 ， 𝑎∧𝑏≤𝑏
2.4格性质的证明 (1)显然成立，因为集合元素本来就没有顺序之分，a与b求确界和b与a求确界相同 （2）∀𝑎,𝑏,𝑐∈𝐿，有(𝑎∨𝑏) ∨𝑐” =” 𝑎∨ (𝑏 ∨𝑐); (𝑎∧𝑏) ∧𝑐 = 𝑎∧ (𝑏 ∧𝑐)(结合律）
证明：显然 𝑎≤𝑎∨(𝑏∨𝑐)
(𝑏∨𝑐) ≤𝑎∨(𝑏∨𝑐)①成立
𝑏≤𝑏∨𝑐
𝑐≤𝑏∨𝑐 成立
根据传递性和① ，有𝑏 ≤ 𝑎∨(𝑏∨𝑐)
𝑐≤ 𝑎∨(𝑏∨𝑐)②
记𝑎∨(𝑏∨𝑐)为𝐾 ，则𝑎 ≤𝐾， 𝑏 ≤𝐾 𝑎∨ 𝑏≤𝐾即𝑎∨ 𝑏≤𝑎∨(𝑏∨𝑐)”③”
根据②”③”， (𝑎∨𝑏) ∨𝑐” “≤ 𝑎∨(𝑏∨𝑐) ④
同理，𝑎∨𝑏 ≤ (𝑎∨𝑏) ∨𝑐
𝑐≤ (𝑎∨𝑏) ∨𝑐
𝑎 ≤ 𝑎∨𝑏
𝑏 ≤ 𝑎∨𝑏 显然成立，同理根据传递性，得
𝑎 ≤(𝑎∨𝑏) ∨𝑐 ⑤
𝑏 ≤ (𝑎∨𝑏) ∨𝑐
𝑏∨𝑐≤ (𝑎∨𝑏) ∨𝑐 ⑥
再根据⑤⑥，有𝑎∨ (𝑏∨𝑐)≤ (𝑎∨𝑏) ∨𝑐 ⑦
综上根据④⑦，得(𝑎∨𝑏) ∨𝑐” =” 𝑎∨ (𝑏 ∨𝑐)
（3）∀𝑎,𝑏∈𝐿，有𝑎∨ (𝑎∧𝑏) = 𝑎； 𝑎∧ (𝑎∨𝑏) = 𝑎（吸收律） 证明：显然， 𝑎 ≤ 𝑎∨ (𝑎∧𝑏) 又， 𝑎 ≤ 𝑎（自反性）且𝑎∧𝑏 ≤ 𝑎 推得： 𝑎∨ (𝑎∧𝑏) ≤ 𝑎 所以， 𝑎∨ (𝑎∧𝑏) = 𝑎
（4） ∀𝑎∈𝐿，有𝑎∨ 𝑎 = 𝑎； 𝑎∧ 𝑎 = 𝑎（幂等律） 证明：显然， 𝑎 ≤ 𝑎∨𝑎 成立 又由 𝑎 ≤ 𝑎 𝑎 ≤ 𝑎 𝑎∨ 𝑎 ≤ 𝑎 综上， 𝑎∨ 𝑎 = 𝑎
2.5平凡格 所有全序都是格，称之为平凡格。 因为全序中任何两个元素𝑥,𝑦，要么𝑥≤𝑦, 要么𝑦≤𝑥。 如果𝑥≤𝑦 ，则{𝑥,𝑦}的下确界为𝑥 ，上确界为𝑦 。 如果𝑦≤𝑥 ，则{𝑥,𝑦}的下确界为𝑦 ，上确界为𝑥 。 即这{𝑥,𝑦}的下确界为较小元素，上确界为较大元素。
2.6代数格 设(𝐿,𝛬,𝑉) 是一个代数系统，其中𝛬和𝑉是二元代数运算，如果这两种代数运算都满足交换律、结合律、和吸收律，即对∀𝑎,𝑏,𝑐∈𝐿，有 （1）交换律∀𝑎,𝑏∈𝐿，有𝑎∨𝑏 = 𝑏 ∨ 𝑎； 𝑎∧𝑏= 𝑏 ∧ 𝑎 （2）结合律∀𝑎,𝑏,𝑐∈𝐿，有(𝑎∨𝑏) ∨𝑐” =” 𝑎∨ (𝑏 ∨𝑐); (𝑎∧𝑏) ∧𝑐 = 𝑎∧ (𝑏 ∧𝑐) （3）吸收律∀𝑎,𝑏∈𝐿，有𝑎∨ (𝑎∧𝑏) = 𝑎； 𝑎∧ (𝑎∨𝑏) = 𝑎 则称(𝐿,𝛬,𝑉) 是一个代数格。
代数格等价于偏序格。 证明：𝑎∧𝑏=𝑎，则𝑎∨𝑏 = (𝑎∧𝑏)∨𝑏”=” 𝑏∨(𝑏∧𝑎)”=” 𝑏”（”吸收律） 即𝑎∧𝑏=𝑎 𝑎∨𝑏” =” 𝑏 𝑎∨𝑏” =” 𝑏，则𝑎∧𝑏 “=” 𝑎∧ (𝑎∨𝑏) “=” 𝑎”（”吸收律） 即𝑎∨𝑏” =” 𝑏 𝑎∧𝑏=𝑎 因此”两者”等价，对于∀𝑎,𝑏,𝑐∈𝐿成立 再在代数格中建立偏序：① “自反性”∀𝑎∈𝐿， 𝑎 ≤ 𝑎 即证𝑎∧ 𝑎 =𝑎 把吸收律中𝑏看成𝑎，有 𝑎∨ (𝑎∧𝑎) “=” 𝑎， 𝑎∧ (𝑎∨𝑎) “=” 𝑎（吸收律） 从而𝑎∧ 𝑎 “=” 𝑎 ∧ (𝑎∨(𝑎∧𝑎)) “=” 𝑎 ②”反对称性：”∀𝑥,𝑦∈𝐿，𝑥≤𝑦，𝑦≤𝑥 则𝑥∧𝑦=𝑥，𝑦∧𝑥=𝑦，得𝑥=𝑦 ③传递性：∀𝑥,𝑦∈𝐿， 𝑥≤𝑦，𝑦≤𝑧，即𝑥∧𝑦=𝑥 𝑦∧𝑧=𝑦， 𝑥∧ 𝑧= (𝑥∧𝑦) ∧𝑧= (𝑥∧(𝑦∧𝑧))∧𝑧 = 𝑥∧ (𝑦∧(𝑧∧𝑧) ) （结合律） = 𝑥∧ (𝑦∧𝑧) = 𝑥∧𝑦=𝑥 从而， 𝑥 ≤ 𝑧 (𝐿,≤)是偏序集，对于∀𝑎,𝑏,𝑐∈𝐿 “根据吸收律，” 𝑎∧ (𝑎∨𝑏) “=” 𝑎 𝑏 ∧ (𝑎∨𝑏) “=” 𝑏 因此𝑎≤𝑎∨𝑏 ，𝑏≤𝑎∨𝑏 成立。 所以，{𝑎,𝑏}有上界𝑎∨𝑏，那么只要证明𝑎∨𝑏为上确界即可。 即证，若∀𝑥∈𝐿，𝑎≤𝑥，𝑏≤𝑥，有𝑎∨𝑏 ≤𝑥 (𝑎∨𝑏) ∨𝑥 “=” 𝑎∨ (𝑏∨𝑥) “=” 𝑎∨ ((𝑏∨𝑥)∨𝑥) “=”（吸收律）𝑎∨ 𝑥 “=” (𝑎 ∧ 𝑥) ∨𝑥 “=” 𝑥 即，𝑎∨𝑏 ≤𝑥，即𝑎∨𝑏 为上确界，下确界证明同理可证，证毕。
三、格的同态和同构 3.1关于映射 设𝒇是由集合𝑿到集合𝒀的映射，如果所有𝒙,𝒚∈𝑿,且𝒙≠𝒚，都有𝒇(𝒙)≠𝒇(𝒚),则称𝒇为由𝑿到𝒀的单射，可理解成“只能1对1，不能多对1”。 设𝒇是由集合𝑿到集合𝑩的映射，如果像集合𝒀中的每个元素在𝑿中都有一个或一个以上的原像，则称𝒇为由𝑿到𝒀的满射，可理解称“只要𝒀中的元素在𝑿中都 能找到原像就行了(一对一，多对一都行)”。
双射就是既是单射又是满射(一个对一个,每个都不漏掉)。
3.2定义 定义：设(𝑳_𝟏,𝜦,𝑽) 和(𝑳_𝟐,∩,∪)是两个格，𝒉是从𝑳_𝟏到𝑳_𝟐的映射，若对任意的𝒙,𝒚∈𝑳_𝟏，有𝒉(𝒙∨𝒚)=𝒉(𝒙)∪𝒉(𝒚)，𝒉(𝒙∧𝒚) =𝒉(𝒙)∩𝒉(𝒚)，则称𝒉”是一个”从 格𝑳_𝟏到𝑳_𝟐的同态映射，格𝑳_𝟏同态于格𝑳_𝟐。若𝒉还是双射，则称𝒉是格同构映射。此时，称格(𝑳_𝟏,𝜦,𝑽)与格(𝑳_𝟐,∩,∪)同构，记为𝑳_𝟏≅ 𝑳_𝟐。
3.2格同态的保序行及证明
定理1：设𝛷”是”从格(𝑳_𝟏,𝜦,𝑽)到格(𝑳_𝟐,∩,∪)的格同态，≤_1是𝑳_𝟏中由∧和∨确定的偏序关系， ≤_2是𝑳_𝟐中由∩和∪确定的偏序关系，则𝛷是保序的，即对 ∀𝑎，𝑏∈𝑳_𝟏，若𝑎 ≤_1 𝑏，则𝛷 (𝑎) ≤_2 𝛷 (𝑏)。 证明： 𝒙 ≤_𝟏 𝒚等价于𝒙 ∧ 𝒚 = 𝒙 𝒙^′ ≤_𝟐 𝒚^′ “等价于” 𝒙^′∩𝒚^′= 𝒙^′ 𝒙 ∨ 𝒚 = 𝒚 𝒙^′ ∪𝒚^′= 𝒚^′ 若𝑎 ≤_1 𝑏，有𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑎，有𝛷 (𝑎∧𝑏) = 𝛷 (𝑎)， 故”根据同态定义，有” 𝛷 (𝑎)∩𝛷 (𝑏)=𝛷 (𝑎) 从而𝛷 (𝑎) ≤_2 𝛷 (𝑏)，故𝛷是保序的。
定理2：设𝛷是从格(𝑳_𝟏,𝜦,𝑽)到格(𝑳_𝟐,∩,∪)的一一对应关系，则𝛷是格同构当且仅当𝛷与𝛷^(−1)都是保序的。 证明：必要性， 𝛷同构，所以𝛷保序， 若𝒙^′，𝒚^′ 〖∈𝑳〗_𝟐， 𝒙^′ ≤ 𝒚^′ 𝛷 (𝒙) = 𝒙^′， 𝛷 (𝒚) = 𝒚^′ 则𝒙^′∩𝒚^′= 𝒙^′ ， 𝛷 (𝒙)∩𝛷 (𝒚) =𝛷 (𝒙) 𝛷 (𝒙∧” “ 𝒚) = 𝛷 (𝒙) ， 𝒙 ∧ 𝒚 = 𝒙 𝒙 ≤_𝟏 𝒚， 𝛷^(−1) (𝒙^′ ) ≤_𝟏 𝛷^(−1) (𝒚^′ ) 所以𝛷^(−1)保序
充分性，即”证”∀𝑎，𝑏∈𝑳_𝟏，𝛷 (𝑎∧𝑏) = 𝛷 (𝑎)∩ 𝛷 (𝑏)， 𝛷 (𝑎∨𝑏) = 𝛷 (𝑎)∪𝛷 (𝑏)，我们证明其中之一即可，不妨证𝛷 (𝑎∧𝑏) = 𝛷 (𝑎)∩ 𝛷 (𝑏)。 𝑎∧ 𝑏 ≤ 𝑎”，” 𝑎∧ 𝑏 ≤ 𝑏由𝛷保序，从而𝛷 (𝑎∧𝑏) ≤ 𝛷 (𝑎)∩ 𝛷 (𝑏)， 𝛷 (𝑎)∩ 𝛷 (𝑏) ≤ 𝛷 (𝑎) 𝛷 (𝑎)∩ 𝛷 (𝑏) ≤ 𝛷 (𝑏)”，” 𝛷^(−1)具有保序性，有 𝛷^(−1) (𝛷” “ (𝑎)∩” “ 𝛷” “ (𝑏)) ≤ 𝑎 ∧ 𝑏 𝛷” “ (𝑎)∩” “ 𝛷” “ (𝑏) ≤ 𝛷 (𝑎∧𝑏) “因此，” 𝛷 (𝑎∧𝑏) = 𝛷 (𝑎)∩ 𝛷 (𝑏)
